先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
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材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，-[1/4a]）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，[1/4a]）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，[1/4]）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=[1/4]x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=[1/4]x2的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．
材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，-[1/4a]）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，[1/4a]）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，[1/4]）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=[1/4]x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=[1/4]x2的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．
赞 447839021 幼苗
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解题思路：①将a=[1/4]代入题中给出的焦点坐标公式中即可．
②根据焦点的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果连接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等证出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得证．
③可连接圆心与切点，设圆心为M，切点为N，那么MN就是梯形ACDB的中位线，因此MN=[1/2]（AC+BD）=[1/2]AB，根据焦点的定义知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是说直线AB恰好过焦点F，那么可根据F的坐标（①已求得）和已知的点（-1，0）的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
②根据焦点的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果连接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等证出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得证．
③可连接圆心与切点，设圆心为M，切点为N，那么MN就是梯形ACDB的中位线，因此MN=[1/2]（AC+BD）=[1/2]AB，根据焦点的定义知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是说直线AB恰好过焦点F，那么可根据F的坐标（①已求得）和已知的点（-1，0）的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
①F（0，1）
②证明：∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC
又∵AC∥OF，
∴∠ACF=∠CFO，
∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；
而∠AFO+∠BFO=180°
∴∠CFO+∠DFO=[1/2]（∠AFO+∠BFO）=90°；
∴CF⊥DF．
③设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；
∴MN=[1/2]AB
在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．
∴MN=[1/2]（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．
∴MN=[1/2]（AF+BF）
∴AF+BF=AB
∴AB过焦点F（0，1）．
又AB过点（-1，0）
∴
b＝1
−k+b＝0
解得
k＝1
b＝1
∴AB对应的函数解析式为y=x+1．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题为阅读类题，解题的关键是弄清材料中各定义的含义，然后结合自己掌握的知识进行求解．
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