求不定积分有人说dx可以不要,F'(x)=f(x),即f(x)的不定积分是F(x)+c,为什么加dx变成∫f(x)dx=

求不定积分
有人说dx可以不要,F'(x)=f(x),即f(x)的不定积分是F(x)+c,为什么加dx变成∫f(x)dx=F(x)+c,如果不要dx怎么做换元法和分步积分,比如求∫2/(3x+2),∫xcos x
比如sin'x=cos 那么∫cos x=sin x+c,不加dx
系线的浮云 1年前 已收到4个回答 举报

晋昕 幼苗

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1.1.1 原函数概念
x05这节课我们讲原函数的概念,先来看什么是原函数.
x05已知                 求
x05总成本函数              边际成本
x05C (x)                C(x)
                          ‖
x05(   )                MC
x05(    )= MC
   求                 已知
x05已知总成本C (x),求边际成本C(x),就是求导数.反之如果已知边际成本,用MC表示,要求总成本,这就是我们要讨论的问题,也就是要知道哪一个函数的导数等于MC.我们引进一个概念:
定义1.1 若对任何xD,F(x) = f(x),则称F(x)为f(x)的原函数.
x05我们来看具体的问题:例如
 (x3)= 3x2
x05F(x)   f(x)
 x3是3x2的原函数.
x05大家用自己的方法把它搞清楚,不要和导数的概念搞混了.
x05先考虑这样一个问题,的原函数是哪个?
x05由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是,即它使得成立,我们在下列函数中进行选择:,经验证知和是2x的原函数.
x05通过这个过程应该弄清,求已知函数的原函数,就是看哪个函数的导函数是已知函数,这个函数就是所求的原函数.
x05另外,2x的原函数不唯一.它告诉我们原函数不止一个.
x05再从另一方面提出问题,为哪个函数的原函数?
x05,说明是的原函数.
x05同样,说明是的原函数.
x05事实上,都是的原函数,说明原函数有无穷多个.那怎样求出一个函数的所有原函数呢?这是下面要讨论的.
x05若都是的原函数,则
x05证:设,
x05可知,即
x05这个结论非常重要,我们已经知道,若是的原函数,则都是的原函数. 而这个结论告诉我们任意
x05两个原函数之间差一个常数. 所以只要求出一个原函数,就能得到所有原函数.
例1 求的全体原函数.
分析:先求一个原函数,再将这个原函数加任意常数就得 到全体原函数.求原函数就是看哪个函数的导数是.
因为 ,所以是的一个原函数.故的全体原函数为
例2 判断是哪个函数的原函数.
分析:看的导函数是哪个函数.
因为,所以是的原函数.
1.1.2 不定积分的定义
定义1.2 的所有原函数的全体称为不定积分.记作,其中称为被积函数,称为积分变量,称为积分符号.
例1 求的全体原函数.
全体原函数就是的不定积分:
例2 求通过点的曲线,使它在点处的切线斜率为.
,得到一族曲线:
曲线过点,即,得到:.所求曲线为
导数与不定积分的关系
我们来讨论两个问题,首先,有两个答案给我们选择:
① ②
要求的不定积分,也就是要看哪个函数的导函数是,答案当然是.但另一方面不定积分是要求全体原函数,所以正确的选择是
再讨论第二个问题
有三个答案给我们选择
① ② ③
所以正确的选择是
x05由这两个问题我们了解到,导数和不定积分是两种互逆的运算.
求导数求不定积分
求导公式反过来就是积分公式.
例:求.
分析:由微分定义有:
由微分定义有,即求.
1.2 积分基本公式
x05正因为求导与求不定积分互为逆运算,所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的.也就是说,有一个导数公式,反过来就有一个积分公式.先让我们回顾一下导数基本公式
   
   
   
          
   
将以上这些公式反过来看,我们就能得到积分基本公式:
                 
       
              
       
  
以上这些积分基本公式都是需要牢记的.另外,有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否,那就是将计算结果求导数,看是否等于被积函数.由此可见,积分基本公式固然很重要,但最最重要的还是导数基本公式.
x05再来说明积分公式
当时,
当x

1年前

1

zbbbb 幼苗

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f(x)dx是微分,∫f(x)dx是不定积分,dx不能单独研究

1年前

2

jingchao 幼苗

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汗。。。怎么可能。。。
∫是微分符号 dx是积分符号
把f(x)微分成许多小段,再积分,才得到F(x)的。

1年前

1

qhliyu 春芽

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忘了·~~

1年前

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