ww11hao
幼苗
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很显然,∠ADE=∠BDF,证明过程用三角形全等即可.只需要看中间那个∠EDF是否相等即可.
连接CD,由对称性可得∠DCF=30°,问题转换成了:证明∠BDF = 2∠CDF.
接下来我们令∠CDF=α,∠FDB=2α.看看能不能由所给的条件推出恒成立.
请注意,以下将采用完全可逆的推导步骤,即条件能推出结果,结果也能推出条件.
∠DCF=30°,∠CDF=α,∠FDB=2α,∠CBD=150°-3α(三角形内角和180°即可推出)
在△CFD中,对CF和FD两边使用正弦定理:
CF:sinα = FD:sin30°
即 CF = FD × sinα ÷ sin30°
在△BFD中,对BF和FD两边使用正弦定理:
BF:sin2α = FD:sin(150°-3α)
即 BF = FD × sin2α ÷ sin(150°-3α)
而BF=CF,所以sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α)
整理得:cosα = sin(150°-3α)
sin(90°-α) = sin(150°-3α)
要让此式成立,需满足:90°-α = 150°-3α,或者,90°-α + 150°-3α = 180°
也就是说α=30°(此时D在AB边上)
或者α=15°(此时∠ADB为直角)
只有这两种情况下,∠D被三等分,其余不可.
1年前
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pupulee
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我九年级没学到正弦,这一步什么意思“整理得:cosα = sin(150°-3α)”。 你把∠α=20°作为假设带一带,你在看看你的推论有没有问题,我只是觉得不只有30°和15°,欢迎纠正
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ww11hao
正弦定理指的是,同一个三角形中,边长:对角的正弦值 = 常数。 没学过就没学过吧,我也想不到其他巧方法,这个已经是我想到的严格证明方法中最简单的了。三角函数什么的一时半会也说不清楚,你以后如果回过头来看这道题的话就会明白了。 sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α) 这个式子里面: sin30° = 0.5 sin2α = 2 × sinα × cosα 这样两边约分之后得到cosα = sin(150°-3α),而cosα=sin(90°-α),所以sin(90°-α)=sin(150°-3α) 呵呵,这个推导你可能弄不太懂,但是没关系,我保证这是对的,不会骗你。 然后我告诉你一下正弦值相等的条件: 如果sinA=sinB, 那么A=B+n×360°(n为任何整数,可以为负), 或者A+B=180°+n×360°(n为任何整数,可以为负)。 20°代入,150°-3α=90°,90°-α=70°,既不满足差值为360°整数倍,也不满足相加180°奇数倍。 所以,的确只有我之前说的两种情况。