如图，在正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，AA 1 =2，N是A 1 D的中点，M∈BB

（1）证明：取AA ₁ 的中点P，连接PM，PN．
∵N是A ₁ D的中点，∴AA ₁ ⊥PN，又∵AA ₁ ⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA ₁ ⊥面PMN．
∵PM⊂面PMN，∴AA ₁ ⊥PM，∴PM ∥ AB，
∴点M是BB ₁ 的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD ₁ A ₁ 所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=
1
2 ，
∴tan∠PNM=
PM
PN =2，∠PNM=arctan2．
故MN与平面ADD ₁ A ₁ 所成的角为arctan2．
（3）∵N是A ₁ D的中点，M是BB ₁ 的中点，∴A ₁ N=AN，A ₁ M=AM，
又MN为公共边，∴△A ₁ MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A ₁ G，则∠A ₁ GA即为二面角A-MN-A ₁ 的平面角．
在△A ₁ GA中，AA ₁ =2，A ₁ G=GA=

30
5 ，
∴cos∠A ₁ GA=
A 1 G 2 + GA 2 -
AA 21
2A 1 G•GA =-
2
3 ，∴∠A ₁ GA=arccos（-
2
3 ），
故二面角A-MN-A ₁ 的大小为arccos（-
2
3 ）．