已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax 2 +bx(a≠0),设函数f(x)的图象C 1 与函数g(x)的图象C 2

已知函数f(x)=lnx,g(x)= ax 2 +bx(a≠0),设函数f(x)的图象C 1 与函数g(x)的图象C 2 交于两点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C 1 、C 2 于点M、N,问是否存在点R,使C 1 在点M处的切线与C 2 在点N处的切线互相平行?若存在,求出点R的横坐标;若不存在,请说明理由.
江清水无余 1年前 已收到1个回答 举报

IT猪头 幼苗

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不存在

设点P、Q的坐标分别为(x 1 ,y 1 )、(x 2 ,y 2 ),且0<x 2 <x 1 ,则点M、N的横坐标均为 .
∴C 1 在点M处的切线斜率为k 1 |x=
C 2 在点N处的切线斜率为k 2 =ax+b|x= +b,
假设C 1 在点M处的切线与C 2 在点N处的切线互相平行,
则k 1 =k 2 ,即 +b.
∵P、Q是曲线C 1 、C 2 的交点,∴
两式相减,得lnx 1 -lnx 2
即lnx 1 -lnx 2 =(x 1 -x 2 )
∴lnx 1 -lnx 2 ,即ln
设u= >1,则lnu= ,u>1(*).
令r(u)=lnu- ,u>1,则r′(u)= .
∵u>1,∴r′(u)>0,∴r(u)在(1,+∞)上单调递增,
故r(u)>r(1)=0,则lnu>
这与上面(*)相矛盾,所以,故假设不成立.
故C 1 在点M处的切线与C 2 在点N处的切线不平行.

1年前

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