设a,b,c为正数,且a^2+b^2+c^2=1 求证：1/a^2+1/b^2+/c^2 - 2(a^3+b^3+c^3

因为a²+b²+c²=1
所以1/a²+1/b²+1/c²-2(a³+b³+c³)/abc
=(a²+b²+c²)/a²+(a²+b²+c²)/b²+(a²+b²+c²)/c²-2(a²/bc+b²/ac+c²/ab)
=3+(a²/b²-2a²/bc+a²/c²)+(b²/c²-2b²/ac+b²/a²)+(c²/a²-2c²/ab+c²/b²)
=3+(a/b-a/c)²+(b/c-b/a)²+(c/a-c/b)²
≥3
当且仅当a=b=c的时候取等号,由于a,b,c为正数
故由a²+b²+c²=1 当a=b=c=√3/3的时候
1/a²+1/b²+1/c²-2(a^3+b^3+c^3)/abc有最小值3