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bjgtkj 幼苗
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(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+
a
x2−
a+1
x=
(x−a)(x−1)
x2…(2分)
(1)当0<a<1时,由f′(x)>0得,0<x<a或1<x<+∞,由f′(x)<0得,a<x<1
故函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1)…(4分)
(2)当a=1时,f′(x)≥0,f(x)的单调增区间为(0,+∞)…(5分)
(Ⅱ)f(x)≤x恒成立可转化为a+(a+1)xlnx≥0恒成立,
令φ(x)=a+(a+1)xlnx,则只需φ(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立即可,…(6分)
求导函数可得:φ′(x)=(a+1)(1+lnx)
当a+1>0时,在x∈(0,
1
e)时,φ′(x)<0,在x∈(
1
e,+∞)时,φ′(x)>0
∴φ(x)的最小值为φ(
1
e),由φ(
1
e)≥0得a≥
1
e−1,
故当a≥
1
e−1时f(x)≤x恒成立,…(9分)
当a+1=0时,φ(x)=-1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立,…(11分)
当a+1<0时,取x=1,有φ(1)=a<-1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立,…(13分)
综上所述当a≥
1
e−1时,使f(x)≤x恒成立.…(14分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查分类讨论的数学思想,考查恒成立问题,同时考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
1年前
1年前1个回答
1年前1个回答
已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a>1.
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已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a≥2.
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已知函数f(x)=12x2+ax−(a+1)lnx(a<-1).
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(2013•浙江模拟)已知函数f(x)=13x3−ax+1.
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已知函数f(x)=2−ax+1(a∈R)的图象过点(4,-1)
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已知函数f(x)=12x2−2(a+2)lnx+ax,a∈R
1年前1个回答
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