(2014•陕西二模)椭圆C1以双曲线C2:x24-y216=1的实轴为短轴、虚轴为长轴,且与抛物线C3:y2=12x交

(2014•陕西二模)椭圆C1以双曲线C2
x2
4
-
y2
16
=1的实轴为短轴、虚轴为长轴,且与抛物线C3:y2=12x交于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程及线段AB的长;
(Ⅱ)在C1与C3图象的公共区域内,是否存在一点P(x0,y0),使得C1的弦EF与C3的弦MN相互垂直平分于点P?若存在,求点P坐标,若不存在,说明理由.
渴望健康 1年前 已收到1个回答 举报

饿欧阳铁摩尔 幼苗

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解题思路:(Ⅰ)利用双曲线与椭圆的关系,直接求椭圆C1的方程,联立椭圆与抛物线方程求出交点坐标,即可求出线段AB的长;
(Ⅱ)设出弦EF端点的坐标代入椭圆方程,利用平方差法求出EF的斜率,讨论求出弦MN的斜率,利用相互垂直,推出关系式,说明点P不在区域内即可.

(Ⅰ)∵椭圆C1以双曲线C2:
x2
4−
y2
16=1的实轴为短轴、虚轴为长轴,
∴椭圆C1
x2
4+
y2
16=1;
联立方程组


x2
4+
y2
16=1
y2=12x解得:

x=1
y=±2
3,
∴A(1,2
3),B(1,−2

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

考点点评: 本题考查椭圆方程的求法,直线与椭圆双曲线以及抛物线的位置关系,直线的垂直体积的应用,考查分析问题解决问题的能力;考查设而不求平方差法以及转化思想的应用.

1年前

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