已知：等差数列{an}中，a3+a4=15，a2a5=54，公差d＜0．

解题思路：（1）利用等差数列的性质结合已知列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出等差数列的前n项和，代入

Sn-an

n

整理，然后利用导数求最值，且求出n的值．

（1）∵数列{a_n}为等差数列，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
∴

a2+a5=15
a2a5=54，解得

a2=6
a5=9或

a2=9
a5=6，
∵d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
则a₁=10，d=-1．
∴a_n=11-n；
（2）∵a₁=10，a_n=11-n，
∴Sn=-
1
2n2+
21
2n，

Sn-an
n=
-
1
2n2+
21
2n-(11-n)
n=-
1
2(n+
22
n)+
23
2．
令f(x)=x+
22
x，f′(x)=1-
22
x2=0，
知f(x)在(0，
22)上单减，在(
22，+∞)上单增，
又4＜
22＜5，
而f(4)=9
1
2＞f(5)=9
2
5．
∴当n=5时，
Sn-an
n取最大值为-
1
2×
47
5+
23
2=
34
5．

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．