已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx（a≠0，a∈R）．

（1）由对任意x∈[1，+∞]，都有f（x）+g（x）≥-x³+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x²-2x，
由于x∈[1，+∞]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
从而a≤
x2−2x/x−lnx]恒成立，a≤（
x2−2x
x−lnx）_min
设t（x）=
x2−2x
x−lnx，x∈[1，+∞]，
求导，得t′（x）=
(x−1)(x+2−lnx)
(x−lnx)2，x∈[1，+∞]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
从而t′（x）≥0，t（x）在[1，+∞]上为增函数．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1．
（2）由（1）得：
x2−2x
x−lnx≥-1，x≥1，
∴lnx≤x²-3x，
∴[1/lnx]≥[1
x(x−3)，
∴
1
In(n+1)+
1
In(n+2)+…+
1
In(n+2013)
≥
1
(n+1)(n−2)+
1
(n+2)(n−1)+…+
1
(n+2013)(n+2010)
=
1/3]（[1/n−2]-[1/n+1]+[1/n−1]−
1
n+…+[1/n+2010]-[1/n+2013]）
=[1/3]（[1/n−2]+[1/n−1]+[1/n]-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．

1年前

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