如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点．（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C-AMN的体积．
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解题思路：（1）根据线面平行的判定定理，只要证明CD∥MN；
（2）根据线面垂直的判定定理，只要证明AM⊥PD，AM⊥CD即可；
（3）利用三棱锥的体积公式，只要求出三棱锥A-PCD的条件即可．
（2）根据线面垂直的判定定理，只要证明AM⊥PD，AM⊥CD即可；
（3）利用三棱锥的体积公式，只要求出三棱锥A-PCD的条件即可．
证明：（1）∵M，N分别是侧棱PD，PC的中点，
CD∥MN
CD⊄面AMN
MN⊆面AMN⇒CD∥面AMN；
（2）∵PA=AD，CD⊥DA，
∴AM⊥PD，
又
PA⊥CD
CD⊥DA
PA∩AD＝A⇒CD⊥面PAD，
∵AM⊂PAD，
∴CD⊥AM，
又PD∩CD=D，
AM⊥面PCD；
（3）VC−AMN＝VA−MNC＝
1
3SMNC•AM＝
1
3×
1
2×[1/2]SPCD•AM=
1
3×
1
4SPCD•AM=
1
3×
1
4×
1
2×2×2
2×
2＝
1
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
考点点评： 本题考查了空间线面关系，利用判定定理判定线面平行和线面垂直．
1年前
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