(本小题满分12分)已知函数 f ( x )＝ x 3 ＋ x 2 －2.

解析：
(1)证明：因为 f ( x )＝ x ³ ＋ x ² －2，
所以 f ′( x )＝ x ² ＋2 x ，
由点( a _n ， a _{n ＋1} ² －2 a _{n ＋1} )( n ∈N ^* )在函数 y ＝ f ′( x )的图象上，得 a _{n ＋1} ² －2 a _{n ＋1} ＝ a _n ² ＋2 a _n ，即( a _{n ＋1} ＋ a _n )( a _{n ＋1} － a _n －2)＝0.
又 a _n >0( n ∈N ^* )，所以 a _{n ＋1} － a _n ＝2.
又因为 a ₁ ＝3，
所以数列{ a _n }是以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以 S _n ＝3 n ＋×2＝ n ² ＋2 n .
又因为 f ′( n )＝ n ² ＋2 n ，所以 S _n ＝ f ′( n )，
故点( n ， S _n )也在函数 y ＝ f ′( x )的图象上．
(2) f ′( x )＝ x ² ＋2 x ＝ x ( x ＋2)，
由 f ′( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝－2，
当 x 变化时， f ′( x )、 f ( x )的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f ′( x )
＋
0
－
0
＋
f ( x )

极大值

极小值

注意到|( a －1)－ a |＝1<2，从而
①当 a －1<－2< a ，即－2< a <－1时， f ( x )的极大值为 f (－2)＝－，此时 f ( x )无极小值；
②当 a －1<0< a ，即0< a <1时， f ( x )的极小值为 f (0)＝－2，此时 f ( x )无极大值；
③当 a ≤－2或－1≤ a ≤0或 a ≥1时， f ( x )既无极大值又无极小值．

略