如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F，试判断EF与AP的数量关系，

解题思路：由PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，可得四边形PECF是矩形，根据矩形的性质，可得EF=PC，然后证得△PAD≌△PCD，即可得PA=PC，则可证得EF=AP．

法一：EF=AP．理由：
∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
连接PC，
∴PC=EF，
∵P是正方形ABCD对角线上一点，
∴AD=CD，∠PDA=∠PDC，
在△PAD和△PCD中，


AD＝CD
∠PDA＝∠PDC
PD＝PD，
∴△PAD≌△PCD（SAS），
∴PA=PC，
∴EF=AP．
法二：延长FP交AB于点G，
则四边形PEBG是正方形，
∴PE=PG，∠AGP=∠EPF=90°，
∵AG=AB-BG，PF=FG-PG，
∴AG=PF，
在△APG和△FEP中，


AG＝FP
∠PGA＝∠EPF
PG＝PE，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴AP=EF．

点评：
本题考点： 正方形的性质．

考点点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

证明：过点P做PG垂直AD于G
∴PGDF是矩形
∵∠GDP=45度
∴DP=GD
∴PGDF是正方形
∴GP=PF
同理可得PFCE是矩形
∴PE=CF
又∵AD=CD,DG=DF
∴AD-GD=CD-DF
∴AG=CF
∵PG=PF
∴∠AGP=∠EPF
∵AG=CF
∴△AGP≌△EPF(SAS)
∴PA=EF

0.0

证明：过点P做PG垂直AD于G
很明显PGDF是矩形
∠GDP=45度
DP=GD
所以
PGDF是正方形
GP=PF
同理我们可以知道
PFCE是矩形
PE=CF
又因为AD=CD,DG=DF
AD-GD=CD-DF
AG=CF
PG=PF
∠AGP=∠EPF
AG=CF
△AGP≌△EPF(SAS)
PA=EF

证明：过点P做PG垂直AD于G
很明显PGDF是矩形
∠GDP=45度
DP=GD
所以
PGDF是正方形
GP=PF
同理我们可以知道
PFCE是矩形
PE=CF
又因为AD=CD,DG=DF
AD-GD=CD-DF
AG=CF
PG=PF
∠AGP=∠EPF
AG=CF
△AGP≌△EPF(SAS)
PA=EF