已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝−23，满足Sn+1Sn+2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想

解题思路：由题设可得 S_n-1S_n+2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜测S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊；用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_K=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，由条件可得，SK+1+

1

SK+1

＝SK+1−SK−2，解出 S_K+1=-[K+2/K+3]，故n=k+1时，猜想仍然成立．

由题设得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-[2/3]，
∵S_n+[1
Sn=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+
1
S2=a₂-2=S₂-a₁-2，
∴
1
S2=
2/3]-2，
∴S₂=-[3/4]．
同理可求得 S₃=-[4/5]，S₄=-[5/6]．
猜想S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=a₁=-[2/3]，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-[K+1/K+2]，则当n=k+1时，∵S_n+[1
Sn=a_n-2，∴SK+1+
1
SK+1＝ak+1−2，
∴SK+1+
1
SK+1＝SK+1−SK−2，∴
1
SK+1=
K+1/K+2]-2=[−K−3/K+2]，
∴S_K+1=-[K+2/K+3]，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-[n+1/n+2]，n∈N₊成立．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-[n+1/n+2]，n∈N+，是解题的难点．