已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线

已知点F是双曲线
x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率e为(  )
A.
2

B. 2
C.
3

D. 1+
2
twliao 1年前 已收到1个回答 举报

呆838714 幼苗

共回答了13个问题采纳率:100% 举报

解题思路:利用双曲线的对称性及直角三角形,可得∠AEF=45°,从而|AF|=|EF|,求出|AF|,|EF|得到关于a,b,c的等式,即可求出离心率的值.

∵△ABE是直角三角形,∴∠AEB为直角
∵双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点,设其坐标为(-c,0)
∴|AF|=
b2
a
∴|EF|=a+c

b2
a=a+c
∴c2-ac-2a2=0
∴e2-e-2=0
∵e>1,
∴e=2
故选B.

点评:
本题考点: 双曲线的简单性质.

考点点评: 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系:c2=a2+b2、考查双曲线的离心率,属于中档题.

1年前

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