判断是否为周期函数,若是求其周期.

1)是周期函数,任一有理数k都为其周期
当x为有理数时,x+k也为有理数,D(x+k)=1=D(x)
当x为无理数时,x+k也为无理数,D(x+k)=0=D(x)
所以k为其周期.
2）不是周期函数
反证法.假设存在非零常数T,使f(x+T)=f(x)
即[cos(1/(x+T)]^2=[cos(1/x)]^2
1+cos2/(x+T)=1+cos2/x
cos2/(x+T)=cos2/x
因此2/(x+T)-2/x=2kπ 或2/(x+T)+2/x=2kπ
-T=kπx(x+T),或 T+2x=kπx(x+T)
因为x为任意值,T固定,所以上式不可能恒等.
因此f(x)不可能为周期函数.

第一个不是