若R上的奇函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称

由“f(x)是R上的奇函数”得：f(x)=-f(-x)，① 由“函数y=f(x)的图像关于x=1对称”得：f(1+x)=f(1-x)，② 这说明函数y=f(x)是一个周期函数，下面是其周期的求法： 由②得（将x代成x-1）：f(x)=f(2-x) 由①得：f(2-x)=-f(x-2) 所以f(x)=-f(x-2) 再将x代成x-2得：f(x-2)=-f(x-4) 所以f(x)=f(x-4)，即f(x)=f(x+4) 所以f(x)的周期T=4 由奇函数的性质得：f(o)=0或x=0处没有定义 由于题目说了f(x)在R上都有定义 所以f(0)=0 所以方程即为：f(x)=-1/3 由周期性得：区间(2012,2014)内的图像与区间(0,2)的图像是完全相同的 你根据题意把f(x)在(0,2)区间内的图像画出来即可，(0,2)区间的图像是个倒v字型，即(0,1]单增，[1,2)单减 所以区间(2012,2014)的图像也是这个形状，且此区间内的图像关于区间中点（即x=2013）对称 所以f(x)=-1/3有两个解x1和x2，且x1和x2一定关于x=2013对称 即：(x1+x2)/2=2013 即x1+x2=4026 所以方程f(x)=-1/3+f(0)在区间（2012，2014）内所有实根之和为4026