rather than的用法I prefer to stay at home rather than to go out

楼主理解有误.
rather than是并列连词,并非介词,用于连接前后两个并列部分.
这两个部分在性质上要求一致,比如都是名词/形容词/副词等.
比如：I‘m (strong) rather than (weak). 都是形容词
I don't understand (how it is used) rather than (its meaning). 都是名词性成分
而且如果其前后部分结构类似的话,则甚至会要求形式上完全一致.
如前后都是不定式,都是动名词,都是动词过去分词,都是动名词等等.
楼主这个例句中,rather than前后就是两个不定式短语,不过第二个不定式短语中的to可以省略.
所以更常用的写法是：I prefer to stay at home rather than (省略to) go outside.
至于成分上,to stay at home和(to) go outside做prefer的（并列）宾语.

楼主理解有误。
rather than是并列连词，并非介词，用于连接前后两个并列部分。
这两个部分在性质上要求一致，比如都是名词/形容词/副词等。
比如：I‘m (strong) rather than (weak). 都是形容词
I don't understand (how it is used) rather than (its meaning). 都是名词性...