如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.

如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如图AD=5,AE=4,求⊙O的直径.
贾明1 1年前 已收到1个回答 举报

咕嘟咕嘟滴 幼苗

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解题思路:(1)连接OD,由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OA=OD,得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行,由两直线平行同旁内角互补,得到∠E与∠EDO互补,再由∠E为直角,可得∠EDO为直角,即DE为圆O的切线,得证;
(2)连接BD,由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADB为直角,在直角三角形ABD中,利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB=[AD/AB],又在直角三角形AED中,由AE及AD的长,利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直径AB的长.

(1)证明:连接OD,如图所示:
∵AD为∠CAB的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,
又∵OA=OD,
∴∠BAD=ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠E+∠EDO=180°,
又AE⊥ED,即∠E=90°,
∴∠EDO=90°,
则ED为圆O的切线;
(2)连接BD,如图所示,
∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,cos∠DAB=[AD/AB],
在Rt△AED中,AE=4,AD=5,
∴cos∠EAD=[AE/AD]=[4/5],又∠EAD=∠DAB,
∴cos∠DAB=cos∠EAD=[AD/AB]=[4/5],
则AB=[5/4]AD=[25/4],即圆的直径为[25/4].

点评:
本题考点: 切线的判定;勾股定理;圆周角定理.

考点点评: 此题考查了切线的判定,圆周角定理,勾股定理,平行线的判定与性质,以及锐角三角函数定义,切线的证明方法有两种:有点连接证垂直;无点作垂线证明垂线段等于圆的半径.

1年前

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