汶桐
幼苗
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解题思路:由三角恒等变换公式,化简原式的第二项得[4cosαcosβ
tanβsin(α-β) |
=
,利用基本不等式算出当且仅当tanα=2tanβ时
的最小值为
,从而得到
tan2α+≥
tan2α+≥8.再由(tanα-3tanγ)
2≥0,可得当tanα=3tanγ时(tanα-3tanγ)
2的最小值为0,即得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=
2/3]时,tan2α++(tanα-3tanγ)2的最小值为8..
∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ ∴[4cosαcosβ tanβsin(α-β)= 4cosαcosβ tanβ(sinαcosβ-cosαsinβ)= 4 tanβ(tanα-tanβ) ∵0<β<α< π/2] ∴tanβ(tanα-tanβ)≤[ tanβ+(tanα-tanβ) 2]2=[1/4]tan2α 当且仅当tanβ=tanα-tanβ,即tanα=2tanβ时等号成立 因此,tan2α+ 4cosαcosβ tanβsin(α-β)≥tan2α+ 4
1 4tan2α=tan2α+ 16 tan2α 又∵tan2α+ 16 tan2α≥2 tan2α• 16 tan2α=8 ∴tan2α+ 4cosαcosβ tanβsin(α-β)≥8,当且仅当tan2α= 16 tan2α时,即tanα=2时等号成立 又∵(tanα-3tanγ)2≥0 ∴结合0<γ<α< π 2,可得当且仅当tanα=3tanγ时,(tanα-3tanγ)2的最小值为0 综上所述,可得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=[2/3]时, tan2α+ 4cosαcosβ tanβsin(α-β)+(tanα-3tanγ)2的最小值为8. 故答案为:8
点评: 本题考点: 三角函数的最值;同角三角函数基本关系的运用. 考点点评: 本题给出α、β、γ满足的条件,求关于三个角的三角函数式的最小值.着重考查了三角恒等变换、利用基本不等式求最值和不等式等价变形等知识,属于中档题.
1年前
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