(2013•南京一模)若有0<γ<β<α<π2,则tan2α+4cosαcosβtanβsin(α-β)+(tanα-3

(2013•南京一模)若有0<γ<β<α<
π
2
,则tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)
+(tanα-3tanγ)2
的最小值是______.
jfcms 1年前 已收到1个回答 举报

汶桐 幼苗

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解题思路:由三角恒等变换公式,化简原式的第二项得[4cosαcosβtanβsin(α-β)=
4
tanβ(tanα-tanβ)
,利用基本不等式算出当且仅当tanα=2tanβ时
4
tanβ(tanα-tanβ)
的最小值为
16
tan2α
,从而得到tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)
tan2α+
16
tan2α
≥8.再由(tanα-3tanγ)2≥0,可得当tanα=3tanγ时(tanα-3tanγ)2的最小值为0,即得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=
2/3]时,tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)
+(tanα-3tanγ)2
的最小值为8..

∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
∴[4cosαcosβ
tanβsin(α-β)=
4cosαcosβ
tanβ(sinαcosβ-cosαsinβ)=
4
tanβ(tanα-tanβ)
∵0<β<α<
π/2]
∴tanβ(tanα-tanβ)≤[
tanβ+(tanα-tanβ)
2]2=[1/4]tan2α
当且仅当tanβ=tanα-tanβ,即tanα=2tanβ时等号成立
因此,tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)≥tan2α+
4

1
4tan2α=tan2α+
16
tan2α
又∵tan2α+
16
tan2α≥2
tan2α•
16
tan2α=8
∴tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)≥8,当且仅当tan2α=
16
tan2α时,即tanα=2时等号成立
又∵(tanα-3tanγ)2≥0
∴结合0<γ<α<
π
2,可得当且仅当tanα=3tanγ时,(tanα-3tanγ)2的最小值为0
综上所述,可得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=[2/3]时,
tan2α+
4cosαcosβ
tanβsin(α-β)+(tanα-3tanγ)2的最小值为8.
故答案为:8

点评:
本题考点: 三角函数的最值;同角三角函数基本关系的运用.

考点点评: 本题给出α、β、γ满足的条件,求关于三个角的三角函数式的最小值.着重考查了三角恒等变换、利用基本不等式求最值和不等式等价变形等知识,属于中档题.

1年前

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