(2007•杨浦区二模)在正四棱锥P-ABCD中(如图),若异面直线PA与BC所成角的正切值为2,底面边长AB=4.

(2007•杨浦区二模)在正四棱锥P-ABCD中(如图),若异面直线PA与BC所成角的正切值为2,底面边长AB=4.
(1)求侧棱与底面ABCD所成角的大小.
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.
70fever 1年前 已收到1个回答 举报

锦衣夜行又如何 春芽

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解题思路:(1)要求侧棱与底面ABCD所成角的大小,关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影.过P作斜高,则∠PAD为异面直线PA与BC所成的角,进而可求侧棱与底面ABCD所成角的大小
(2)求四棱锥P-ABCD的体积,关键是求出底面积与高,进而利用公式求解.

(1)过P作斜高PE,PO⊥底面ABCD,AD∥BC∴∠PAD为异面直线PA与BC所成的角θ且tanθ=2(3分)
在Rt△PEA中tanθ=2=[PE/AE]且AE=2所以PE=4,PA=2
5(5分)
正四棱锥P-ABCD的高为PO=2
3在Rt△POA中,∴sin∠PAO=

15
5∴∠PAO=arcsin

15
5,
侧棱与底面ABCD所成角的大小为arcsin

15
5( 或写成arccos

10
5)(7分)
(2)VP--ABCD=
1
3•42•2
3=

点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.

考点点评: 本题的考点是直线与平面所成的角,主要考查侧棱与底面ABCD所成角的大小,关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影,考查几何体的体积,属于中档题.

1年前

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