棱长为a的正四面体的棱切线球体积和面切线球体积为多少

一个球与正四面体的4个面都相切,正四面体棱长为a,则这个球的体积为?
这个球叫做正四面体的内切球,设球心为O,则O将正四面体的高h分成
上下3:1的两部分,上面的3份是外接球半径R,下面的1分是内切球半径r
而正四面的外接球即是正四面体所在的正方体的外接球,正四面体的棱
是正方体的面对角线,正方体的棱长为√2a,体对角线长√2a×√3=2R
∴2R=√6a,R=√6a/2,∴r=R/3=√6a/6
∴V=4π/3r^3=√6πa³/54
一个球与正四面体的6条棱都相切,正四面体棱长为a,则这个球的体积为?
正四面体命名为ABCD取AB中点M,则OA=OB,OM为棱切球的半径r'
勾股定理：r'=√(R²-a²/4)=√5a/2 V=4π/3r' ^3=5√5πa³/6

四面体是四个面六条棱
与正四面体的六条棱都相切，棱长为a
球心到每个面的距离为(√6/12)a
每个面上的内切圆的半径为(√3/6)a,
所以，R²=a²×[(√6/12)²+(√3/6)²]
R=(√2/4)×a
球的体积＝(4/3)×π×R³= (√2/24)×π×a³