设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi（i=1，2，…，n）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观

设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ_i（i=1，2，…，n）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X₁，X₂，…，X_n．设仪器都没有系统误差，即E（X_i）=θ（i=1，2，…，n），问k₁，k₂，…，k_n应取何值，才能在使用

i＝1

kiXi估计θ时，

无偏，并且D（

）最小？

jessie_bupt 1年前已收到1个回答举报

浪lang 幼苗

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解题思路：首先根据无偏性的要求写出k₁，k₂，…，k_n应满足的条件，然后根据D（

）最小写出其目标，利用拉格朗日乘数法求解．

由于E（X_i）=θ（i=1，2，…，n），则

∧
θ=
n

i＝1kiXi的无偏性要求是
n

i＝1ki＝1．这就是约束条件，
而目标函数为D
∧
θ=
n

i＝1
k2i
X2i．
可用拉格朗日乘数法来解，作函数
f（k₁，k₂，…，k_n）=
n

i＝1
k2i
X2i+λ(1−
n

i＝1ki)，
由[∂f
∂ki＝0（i=1，2，…，n）得方程组

2ki
σ2i−λ＝0，i＝1，2，…，n

n/
i＝1ki＝1]
解得　
ki＝
1

σ2i(
n

i＝1

点评：
本题考点：利用拉格朗日乘数法求条件极值．

考点点评：此题考查参数估计里的无偏性和有效性的概念以及条件极值的求法，是跨学科的问题．

1年前

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