求广义积分 ∫ (1→正无穷)dx/x(x^2+1),希望能把最后一步写详细点就是算lim(b→无穷)Inb/(b^2+

∫(1→∞) dx/[x(x² + 1)] dx 或 = lim(b→∞) ∫(1→b) dx/[x(x² + 1)]
= ∫(1→∞) [(x² + 1) - x²]/[x(x² + 1)] dx
= ∫(1→∞) [1/x - x/(x² + 1)] dx
= ln(x) - (1/2)ln(x² + 1)：1→∞
= ln(x) - ln√(x² + 1)：1→∞
= ln[x/√(x² + 1)]：1→∞
= ln[1/√(1 + 1/x²)]：1→∞
= lim(b→∞) ln[1/√(1 + 1/x²)] - lim[1/√(1 + 1/x²)]
= ln[1/√(1 + 0)] - ln[1/√(1 + 1)]
= ln(1) - ln(1/√2)
= (1/2)ln(2)
lim(b→∞) ln[b/√(b² + 1)]
= lim(b→∞) ln{1/[√(b² + 1)/b]},分子分母各除以b
= lim(b→∞) ln{1/√[(b² + 1)/b²]}
= lim(b→∞) ln{1/√(1 + 1/b²)]
= ln{1/√(1 + 0)}
= ln(1)
= 0,这极限相当于上面那个积分的做法
1/x的不定积分要加绝对值,因为不知道x的范围,x可能是正数也有可能是负数.
若是∫ x/(1 + x²) dx这种不定积分,出来的答案是(1/2)ln(1 + x²) + C
我们知道无论x取什么数值,1 + x²均大于0,所以也不必加绝对值.
1/x的定积分不用加绝对值,因为在求定积分时你已经知道x的范围,即x小于0抑或x大于0.
这里的积分范围是1到∞,x均大于0,所以排除了x

∫ (1→正无穷)1/x(x^2+1)dx
=
100