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幼苗
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令P=xy²,Q=yz²,R=zx²
则αP/αx=y²,αQ/αy=z²,αR/αz=x²
∴根据高斯定理,有
∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy+∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy
=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz
=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz (D表示上半球面,S表示xy平面圆:x²+y²=1,V表示D+S)
=∫dθ∫sinφdφ∫r²*r²dr (做球面坐标变换)
=(2π-0)(1-0)(1/5-0)
=2π/5
∵∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy=0 (∵z=0,∴dz=0)
∴∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy=2π/5-∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy
=2π/5-0
=2π/5.
1年前
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