关于方差,数学分析和实变函数大神进

关于方差,数学分析和实变函数大神进
老师说存在一个数m,p（x=m）=1的话,方差就为0,我感觉不对,下举一例.
有一列随机变量,比如叫a（n）,第n个是这样的,在0处概率为1-1/2n,剩下这1/2n的概率分给1……n和-1……-n这2n个点,就是每个点概率1/4n^2.然后算出来均值为0,方差为n/3,n趋向无穷的话,单点值为1,但方差无穷.
另外的,既然可以让方差为n/3,那就可以构造个新的随机变量列,让他方差恒等于1/3,那方差极限是不是也是1/3,也就是方差存在,且不等于0.
第二个构造的方式大约就是绝对值为k的那个点的概率为(1/4n)*(1/k)/（1/k从1到n求和）
算完方差的极限应该是个固定值