如果我知道了一个线性空间的一组基底向量,如何找出这个空间中,含0最多的向量（当然不能是全零）?

设a1,a2,…,an是n维线性空间V的一组基底向量,故线性空间的任意一个向量均可由该组向量线性表出,欲求这个空间中含0最多的向量（当然不能是全零）,坐标向量当然满足条件,它仅有一个非零的分量,设
Ei=[0,0,…0,1,0,…,0]
是第i个分量为1其余为0的向量,由于a1,a2,…,an是基底,故一定存在常数k1,k2,…,kn使得
k1×a1+ k2×a2+…+kn×an= Ei
设A=[a1 a2 … an]是由a1,a2,…,an为列的矩阵,X=[k1,k2,…,kn]^T,则由上式得
AX= Ei
这是一个n阶线性方程组,利用高斯消去法或三角分解可求出k1,k2,…,kn.
首先回答你后面这个问题：[0 1]和[1 0]不在这个空间中的,因为你给出的是1个2维向量,不能构成基,仅形式为[2k,3k]的向量（k为任意常数）在该空间内（共线的）,[0 1]和[1 0]均不能表示为v=[2 3]的倍数.
回答你开始的问题：如果你给的不是R^n空间,这更好办,设a1,a2,…,an是任间抽象元素,因为它是一组基底向量,故维线性空间所有元均能用这组元线性表出,当然a1,a2,…,an也在该空间内,此时这组元对应的恰是R^n空间的坐标向量,即
a1=1×a1+ 0×a2+…+0×an
a2=0×a1+ 1×a2+…+0×an
….
an=0×a1+ 0×a2+…+1×an
此时这组向量的任何一个均满足你的要求.

记 A行向量生成的线性空间为 W
记 B行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V1
那么S1 = W∩V1 还是线性空间。这个空间的里的元就满足与A中列向量相关，与B不相关。
记 C行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V2
S2 = S1∩V2 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C不相关。
记 D行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V3...

假定你已经有如下的算法：
1. IsZero(A)，判断子空间A是否为0空间。
2. Intersect(A, B)，求两个线性子空间A, B的交。
3. Span(v1,.., vk)，能求出向量v1, v2,.., vk张成的新空间。
4. Select(A)，能从空间A中任意取出一个向量。
令S = { e1, e2, ..., en } 是所有的坐...

四楼的说法没错吧
不论是什么线性空间，只要是有限维，其内的向量的组合都在这个空间内部（貌似你只说维度很高，但也没说是否有限。。。）
在有限维的前提下，
1，如果你已知这个空间的一组基，那么首先空间的维度就已知；
2，你所需要的含“0”最多的向量，这个“0”你是如何定义的？是欧式空间里面基向量的矩阵系数吗？如果是的话，那么你把已知的那组基通过转换矩阵换为熟知的欧式空间...

这个在数学模形上，就是线性代数的最基本的知识。
记 A行向量生成的线性空间为 W
记 B行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V1
那么S1 = W∩V1 还是线性空间。这个空间的里的元就满足与A中列向量相关，与B不相关。
记 C行向量生成的线性空间其对应的代数补空间为V2
S2 = S1∩V2 这个空间的里的元就满足与A中行向量相关，与B，C不相关。