已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为[1/2]，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-

（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题意得，b=
|0−0+
6|

2=
3，
[c/a＝
1
2]，又a²+b²=c²，
联立解得a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为
x2
4+
y2
3＝1．…（3分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B的坐标满足


x2
4+
y2
3＝1
y＝kx+m，
消去y化简得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2＝−
8km
3+4k2，x₁x₂=
4m2−12
3+4k2，
△＞0，得4k²-m²+3＞0，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•
4m2−12
3+4k2+km(−
8km
3+4k2)+m2
=
3m2−12k2
3+4k2．
∵k_OA•k_OB=-[3/4]，
y1y2
x1x2=-[3/4]，即y1y2＝−
3
4x1x2，
∴
3m2−12k2
3+4k2=-[3/4•
4m2−12
3+4k2]，即2m²-4k²=3，
∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=
(1+k2)•
48(4k2−m2+3)
(3+4k2)2
=

48(1+k2)
(3+4k2)2•
3+4k2
2
=

48(1+k2)
(3+4k2)2•
3+4k2
2
=

24(1+k2)
3+4k2．
O到直线y=kx+m的距离d=
|m|

1+k2，
∴S_△AOB=[1/2d|AB|=
1
2]•
|m|

1+k2•

24(1+k2)
3+4k2
=
1
2

m2
1+k2•
24(1+k2)
3+4k2
=
1
2

3+4k2
2•
24
3+4k2=
3为定值．…（8分）
若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则

OP＝

OA+

OB，
设P（x₀，y₀），则x₀=x₁+x₂=-[8km
3+4k2，y₀=y₁+y₂=
6m
3+4k2，
由于P在椭圆上，所以
x02/4+
y02
3＝1，
从而化简得
16k2m2
(3+4k2)2+
12m2
(3+4k2)2＝1，
化简得4m²=3+4k²，（1）
由k_OA•k_OB=-
3
4]，知2m²-4k²=3，（2）
解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形．…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形的面积为定值的证明，考查满足条件的平行四边形是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．

1年前

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