已知函数f(x)＝px−px−2lnx，p∈R．

解题思路：（I）当p=2时，函数f(x)＝2x−

2

x

−2lnx，f（1）=2-2-2ln1=0，f′(x)＝2+

2

x2

−

2

x

，由此能求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（ II） f′(x)＝p+

p

x2

−

2

x

＝

px2−2x+p

x2

．（x＞0）因为f（x）在定义域内是增函数，所以∀x∈（0，+∞），f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．p≥

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

恒成立，由此能求出正实数p的取值范围．
（ III）由g(x)＝px+

p+2

x

−2lnx（x＞0），知g′(x)＝

px2−2x−2−p

x2

＝

(px−2−p)(x+1)

x2

，由此进行分类讨论，能求出函数g（x）的单调区间．

（本小题共14分）
（I）当p=2时，函数f(x)＝2x−
2
x−2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0，
f′(x)＝2+
2
x2−
2
x，…（1分）
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．…（2分）
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即y=2x-2．…（3分）
（ II） f′(x)＝p+
p
x2−
2
x＝
px2−2x+p
x2．（x＞0）…（4分）
因为f（x）在定义域内是增函数，
所以∀x∈（0，+∞），
f'（x）≥0，即px²-2x+p≥0恒成立．…（5分）
g′(x)＝
−2(x+1)
x2＜0
即p≥
2x
x2+1＝
2
x+
1
x恒成立．…（6分）
而∵x＞0，∴x+
1
x≥2，
∴[2
x+
1/x≤1（当且仅当x=1时取等号），…（7分）
∴
2x
x2+1≤1，∴P≥1．…（8分）
（ III）g(x)＝px+
p+2
x−2lnx（x＞0），
g′(x)＝
px2−2x−2−p
x2＝
(px−2−p)(x+1)
x2]…（9分）
（1）当p=0时，总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（10分）
当p≠0时，g′(x)＝
p[x−(
2
p+1)](x+1)
x2
（2）当p＞0时，递增区间为(
2
p+1，+∞)g（x）的单调递减区间为(0，
2
p+1)，…（11分）
（3）当p=-2时，g′(x)＝
−2x(x+1)
x2＜0总成立，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（12分）
（4）当-2＜p＜0时，g（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（13分）
（5）当p＜-2时，递增区间为(0，
2
p+1)，递减区间为(
2
p+1，+∞)…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查切线方程的求法，正实数的取值范围的求法，求函数的单调区间，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．