求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数

求幂级数∑ x^n/n!（n=0到无穷大） 的和函数
答案是e^x
爱哭的雨点 1年前 已收到3个回答 举报
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凌岚格格 幼苗

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设s(x)=∑ x^n/n!（n=0到无穷大）则,a(n+1)/a(n)=n!/(n+1)!=1/(n+1)--->0R=+∞ 收敛域：（-∞,+∞）s'(x)=∑ x^(n-1)/(n-1)!（n=1到无穷大）=s(x)d(S)/S=dx s(0)=1lnS(x)-lnS(0)=x∴s(x)=e^x...

1年前

11

第749次求婚 幼苗

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记s(x)=∑ x^n/n！（n=0到无穷大）=1 ∑ x^n/n！（n=1到无穷大）
按照逐项求导s'(x)=∑ x^(n-1)/(n-1)！（n=1到无穷大）= ∑ x^n/n！（n=0到无穷大）=s(x)
于是解微分方程s(x)=s'(x)
且符合条件s(0)=0
解得s(x)=e^x

1年前

4

helen_leeqd 幼苗

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令an=1/n!.s（x）=t题目上的式子，可以知道收敛区域为负无穷到正无穷！对s（x）求导得s（x）=s（x）＇.再利用微分可求s（x）=ce^nx.再有s（0）=1知c=1。结果就出来了:-)！！

1年前

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