1.图中为正方体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,怎么求证四点共面

1.图中为正方体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,怎么求证四点共面
2.三角形ABC三点都满足 3X+2Y+Z-17=0 求X^2+Y^2+z^2的最值

怪难吃先生 1年前 已收到3个回答 举报

swlong 幼苗

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1.
设下底面为ABCD,上底面为A1B1C1D1,
P1为A1A中点,S为D1C1中点,R为C1C中点,Q为AB中点,P为A1D1中点
连接A1B,D1C,P1Q,SR
因A1D1平行平面ABCD,所以:A1D1平行AD,而AD平行BC,所以:A1D1平行BC
而:A1D1=AD=BC,所以:A1D1CB为平行四边形,
所以:A1B平行D1C
因P1Q是三角形A1AB的中位线,所以:P1Q平行A1B,
因SR是三角形D1C的中位线,所以:SR平行D1C
所以:P1Q平行SR
所以:P1QSR共面
连接P1P,AD1,SQ,BC1
因P1P是三角形A1AD1的中位线,所以:P1P平行AD1
还可证明,AD1C1B是平行四边形 (与证明A1BCD1是平行四边形的方法相同)
而:S是D1C1的中点,Q是AB的中点,所以:SQ平行AD1
所以:P1P平行SQ
因此,P1,P,S,Q四点共面
而:P1,Q,R,S四点共面,因三点决定一个平面
所以:P,Q,R,S四点共面
2.
ABC三点决定了平面3X+2Y+Z-17=0
它的法向量(3,2,1)
所以:过(0,0,0)点,与向量(3,2,1)平行的直线l的参数方程:
x=3t,y=2t,z=t,代入:3X+2Y+Z-17=0
9t+4t+t-17=0
t=17/14
直线l与平面的交点为(51/14,17/7,17/14)
这点到(0,0,0)的距离的平方=(51/14)^2+(17/7)^2+(17/14)^2
=289/14
显然,(0,0,0)到平面3X+2Y+Z-17=0上任意一点(x,y,z)的距离的平方为:
x^2+y^2+z^2
而点到平面以垂直距离为最短
所以:x^2+y^2+z^2的最小值=289/14

1年前

4

kvkvjie 幼苗

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1 建立一个三维坐标系 四个点坐标表示出来 这个很简单 然后可以算出来 向量SR平行于向量PQ 所以四点共面
2 X^2+Y^2+z^2 是点(x,y,z)到原点的距离
也就是求直线上的点到原点距离的极值
显然没有极大值 极小值是原点到直线垂线的长度
有公式可以算定点到定直线的距离 翻书...

1年前

2

haorxixi 幼苗

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1.做如图所示辅助线,可证四点在同一直线上。

2.X^2+Y^2+z^2的最值就是原点到直线3X+2Y+Z-17=0 的距离,用公式可以算出来

1年前

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