swlong
幼苗
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1.
设下底面为ABCD,上底面为A1B1C1D1,
P1为A1A中点,S为D1C1中点,R为C1C中点,Q为AB中点,P为A1D1中点
连接A1B,D1C,P1Q,SR
因A1D1平行平面ABCD,所以:A1D1平行AD,而AD平行BC,所以:A1D1平行BC
而:A1D1=AD=BC,所以:A1D1CB为平行四边形,
所以:A1B平行D1C
因P1Q是三角形A1AB的中位线,所以:P1Q平行A1B,
因SR是三角形D1C的中位线,所以:SR平行D1C
所以:P1Q平行SR
所以:P1QSR共面
连接P1P,AD1,SQ,BC1
因P1P是三角形A1AD1的中位线,所以:P1P平行AD1
还可证明,AD1C1B是平行四边形 (与证明A1BCD1是平行四边形的方法相同)
而:S是D1C1的中点,Q是AB的中点,所以:SQ平行AD1
所以:P1P平行SQ
因此,P1,P,S,Q四点共面
而:P1,Q,R,S四点共面,因三点决定一个平面
所以:P,Q,R,S四点共面
2.
ABC三点决定了平面3X+2Y+Z-17=0
它的法向量(3,2,1)
所以:过(0,0,0)点,与向量(3,2,1)平行的直线l的参数方程:
x=3t,y=2t,z=t,代入:3X+2Y+Z-17=0
9t+4t+t-17=0
t=17/14
直线l与平面的交点为(51/14,17/7,17/14)
这点到(0,0,0)的距离的平方=(51/14)^2+(17/7)^2+(17/14)^2
=289/14
显然,(0,0,0)到平面3X+2Y+Z-17=0上任意一点(x,y,z)的距离的平方为:
x^2+y^2+z^2
而点到平面以垂直距离为最短
所以:x^2+y^2+z^2的最小值=289/14
1年前
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