若函数y=f（x）（x∈R+）同时满足：①对一切正数x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3

若函数y=f（x）（x∈R⁺）同时满足：①对一切正数x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），则f（100）=则方程f（x）=f（100）的解的最小值为______．

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叠影qq 幼苗

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解题思路：f（100）=3f（

100

3]）=3f（3×[100/9]）=9f（[100/9]）=…=81f（[100/81]），由此猜想f（x）=3nf(

)，由

100

∈[1，3]，知81f(

100

)=81•[1-|

100

−2|]=19，f（100）=19，由此能求出方程f（x）=f（100）解的最小值．

f（100）=3f（[100/3]）=3f（3×[100/9]）=9f（[100/9]）=…=81f（[100/81]），
由此猜想f（x）=3nf(
x
3n)，
∵[100/81∈[1，3]，∴81f(
100
81)=81•[1-|
100
81−2|]=19，
∴f（100）=19，
由f（x）=19，知3nf(
x
3n)＝19，
当1≤
x
3n≤3，即3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹时，3nf(
x
3n)＝19可化为3n[1−|
x
3n−2|]＝19，
即3ⁿ-|2•3ⁿ-x|=19，x=19+3ⁿ，或x=3ⁿ⁺¹-19，
又3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹，则n≥3，
当n=3时，x=19+27=46，
46
27∈[1，3]，或x=62，
62
27∈[1，3]，
故方程f（x）=f（100）解的最小值为46．

点评：
本题考点：归纳推理；抽象函数及其应用．

考点点评：本题考查归纳推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意抽象函数的性质及其应用．

1年前

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