怎样证明0.9的无限循环等于1?

我来说一下关于循环小数 repeating decimal 的问题.
首先从定义出发,任何一个repeating decimal 都可以满足一个整系数线性方程.
例如 x = 0.abcdefgefgefgefg.
那么10000000x - 10000x = abcdefg - abcd
x= (abcdefg - abcd)/ 9990000
同样 如果x = 0.999999.
10x - x = 9.99999...- 0.99999.= 9 x = 1
其次,我们可以把repeating decimal 看做 infinite series.
任何一个十进制下的数都可以表示成 sigma a_i * 10^i,i = 0,1,-1,2,-2,3,-3,...
小数也不例外.
所以0.999999...= 9* 10^-1 + 9* 10^-2 + ...= lim (n approaches infinity) sigma (k= 1 to n) 9*10^-k = 1
证明完毕.
关于repeating decimal 还有很多好玩的性质,比如cyclical numbers,和modern algebra又有着千丝万缕的联系.

如果你是高中的，二楼的方法比较到位了
如果你是初中的，建议用方程的思想来解题吧
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设x=0.9无限循环
10x=9.9无限循环=9+0.9无限循环=9+x
移项，那么（10-1）x=9
x=1 所以得出 0.9无限循环=1

不应该写成9的循环，遇到9的循环直接进1。0.1...1的循环等于1/9，0.8...8的循环等于8/9，0.1...+0.8...=1/9+8/9=1

证明方法是要证明不存在介于0.9循环和1之间的数。
反证法。具体步骤我就不写了。
希望可以对你有所帮助。