设椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的左、右焦点分别为F 1

（1）由题意
c
a =
1
2 ，得 c=
1
2 a ，所以|F ₁ F ₂ |=a
∵|AF ₁ |=|AF ₂ |=a，

B F 2 =2

B F 1 ，∴F ₁ 为BF ₂ 的中点，
∴|AF ₁ |=|AF ₂ |=|F ₁ F ₂ |=a
∴△ABF ₂ 的外接圆圆心为 F 1 (-
a
2 ，0) ，半径r=|F ₁ A|=a…（3分）
又过A、B、F ₂ 三点的圆与直线 x-
3 y-3=0 相切，所以
|-
1
2 a-3|
2 =a
∴a=2，∴c=1，b ² =a ² -c ² =3．
∴所求椭圆方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1 …（6分）
（2）由（1）知F ₂ （1，0），设l的方程为：y=k（x-1）
将直线方程与椭圆方程联立

y=k(x-1)

x 2
4 +
y 2
3 =1 ，整理得（3+4k ² ）x ² -8k ² x+4k ² -12=0
设M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），则 x 1 + x 2 =
8 k 2
3+4 k 2 ， y 1 + y 2 =k( x 1 + x 2 -2) …（8分）
假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以 (

PM +

PN )•

MN =0
又

PM +

PN =( x 1 -m， y 1 )+( x 2 -m， y 2 )=( x 1 + x 2 -2m， y 1 + y 2 )
又MN的方向向量是（1，k），故k（y ₁ +y ₂ ）+x ₁ +x ₂ -2m=0，则k ² （x ₁ +x ₂ -2）+x ₁ +x ₂ -2m=0，
即 k 2 (
8 k 2
3+4 k 2 -2)+
8 k 2
3+4 k 2 -2m=0
由已知条件知k≠0且k∈R，
∴ m=
k 2
3+4 k 2 =
1

3
k 2 +4 …（11分）
∴ 0＜m＜
1
4 ，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是 (0，
1
4 ) …（13分）