如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求

如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF.
he_huo 1年前 已收到1个回答 举报

zxp814 春芽

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解题思路:延长DC至M,使CM=AE,利用“边角边”证明△ABE和△CBM全等,根据全等三角形对应边相等可得BM=BE,全等三角形对应角相等可得∠CBM=∠ABE,然后求出∠MBF=60°,从而得到∠EBF=∠MBF,利用“边角边”证明△BMF和△BEF全等,根据全等三角形对应边相等可得MF=EF,再根据MF=MC+CF整理即可得证.

证明:如图,延长DC至M,使CM=AE,
在△ABE和△CBM中,

CM=AE
∠BCM=∠A=90°
AB=BC,
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴BM=BE,∠CBM=∠ABE,
∵∠D=60°,∠A=∠C=90°,
∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°,
∵∠EBF=60°,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°,
∴∠MBF=∠MCB+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°,
∴∠EBF=∠MBF,
在△BMF和△BEF中,

BM=BE
∠EBF=∠MBF
BF=BF,
∴△BMF≌△BEF(SAS),
∴MF=EF,
∵MF=MC+CF,
∴EF=AE+CF.

点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质.

考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,本题利用“补短法”作辅助线构造出两对全等三角形,是解题的关键.

1年前

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