四道分解因式、四道分式化简,二道分式方程.适合八年级学生.求给出过程和结果.

四道分解因式①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2
③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2
四道分式化简例1 化简分式：

　　分析 直接通分计算较繁,先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式,再化简将简便得多．
　　
　　 　
　　 　　　＝［(2a+1) - (a - 3) - (3a+2)+(2a - 2)］
　　　　　 　
　　　　　 　
　　说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
　　例2 求分式

　　当a=2时的值．
　　分析与解 先化简再求值．直接通分较复杂,注意到平方差公式：
　　a2 - b2=(a+b)(a - b),
　　可将分式分步通分,每一步只通分左边两项．
　　 　
　　 　
　　例3 若abc=1,求
　　分析 本题可将分式通分后,再进行化简求值,但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
　　解法1 因为abc=1,所以a,b,c都不为零．
　　
　　 　
　　解法2 因为abc=1,所以a≠0,b≠0,c≠0．
　　 　
　　
　　 　
　　例4 化简分式：
　
　　分析与解 三个分式一齐通分运算量大,可先将每个分式的分母分解因式,然后再化简．
　　
　　说明
　　
　　互消掉的一对相反数,这种化简的方法叫“拆项相消”法,它是分式化简中常用的技巧．
　　例5 化简计算(式中a,b,c两两不相等)：
　
　　 似的,对于这个分式,显然分母可以分解因式为(a - b)(a - c),而分子又恰好凑成(a - b)+(a - c),因此有下面的解法．
　　解
　　
　　说明 本例也是采取“拆项相消”法,所不同的是利用
　　例6 已知：x+y+z=3a(a≠0,且x,y,z不全相等),求
　　
　　分析 本题字母多,分式复杂．若把条件写成(x - a)+(y - a)+(z - a)=0,那么题目只与x - a,y - a,z - a有关,为简化计算,可用换元法求解．
　　解 令x - a=u,y - a=v,z - a=w,则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
　　由于x,y,z不全相等,所以u,v,w不全为零,所以u2+v2+w2≠0,从而有

　　 　
　　说明 从本例中可以看出,换元法可以减少字母个数,使运算过程简化．
　　例7 化简分式：

　
　　 　
　　 　
　　 　
　　 　
　　 适当变形,化简分式后再计算求值．
　　
　　 　
　　(x - 4)2=3,即x2 - 8x+13＝0．
　　原式分子=(x4 - 8x3+13x2)+(2x3 - 16x2+26x)+(x2 - 8x+13)+10
　　　　　　=x2(x2 - 8x+13)+2x(x2 - 8x+13)+(x2 - 8x+13)+10
　　　　　　=10,
　　原式分母=(x2 - 8x+13)+2=2,
　　
　　说明 本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化．
　　
　　解法1 利用比例的性质解决分式问题．
　　(1)若a+b+c≠0,由等比定理有
　　
　　所以
　　a+b - c=c,a - b+c=b, - a+b+c=a,
　　于是有
　　
　　(2)若a+b+c=0,则
　　a+b= - c,b+c= - a,c+a= - b,
　　于是有
　　
　　说明 比例有一系列重要的性质,在解决分式问题时,灵活巧妙地使用,便于问题的求解．
　　解法2 设参数法．令
　　
　　则
　　a+b=(k+1)c,①
　　a+c=(k+1)b,②
　　b+c=(k+1)a．③
　　①+②+③有
　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c),
　　所以 (a+b+c)(k - 1)=0,
　　故有k=1或 a+b+c=0．
　　当k=1时,
　　
　　
　　当a+b+c=0时,
　　说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件,可使已知条件便于使用．
练习四
　　1．化简分式：
　　
　　2．计算：
　　
　　3．已知：
　　(y - z)2+(z - x)2+(x - y)2
　　=(x+y - 2z)2+(y+z - 2x)2+(z+x - 2y)2,
　　
　　
　　的值．
分式方程
　　
甲、乙、丙三个数字一次大1,若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等,求甲、乙、丙
第一道：设甲=x,乙=（x+1）,丙=（x+2）
2/(x+2)+1/(x+1)=3/x
2x²+x+x²+2x=x²+3x+2
x²=1
x=1或-1
∵乙的倒数=1/(x+1)
∴x≠-1
∴x=1
一个两位数的个位上的数为7,若把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3,求原两位数
第二道
设原两位数十位上数字为X
(10X+7)/(70+X)=3/8
3(70+X)=8(10X+7)
210+3X=80X+56
77X=154
X=2
所以原两位数为27
一艘轮船从A港口向B港口行驶,以在本航线航行时的常规速度走完全程的5分之3,此后航速减小了10海里每小时,并以此速度一直行驶到B港口.这样,本次航行减速后行驶所用的时间和未减速时行驶所用的时间相同.这艘轮船在本航线的常规速度是多少?
第三道艘轮船在本航线的常规速度是x
3/5÷x=(1-3/5)÷(x-10)
3(x-10)=2x
x=30
这艘轮船在本航线的常规速度是30海里每小时
甲乙两地相距125千米,从甲地到乙地,有人乘车,有人骑自行车,自行车比汽车早出发4小时,晚到1/2小时,已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5,求自行车与汽车的速度各式多少?
设自行才的速度为x千米/小时,则乘车速度为5x/2千米/小时
则乘车所所花时间为：125÷5x/2=50/x
则有方程：125/x-50/x=4.5（根据骑车和乘车的时间差）
解得x=50/3千米/小时
则汽车速度为：5/2*50/3=125/3千米/小时
某车队计划t天运送m吨货物,如果已经运送了其中的n吨,（n小于m）则运完剩下货物需要的天数t1=__,平均每天运出货物的吨数a=____
每天运货物量为：m/t
则运完剩下的货物需要天数为：（m-n）÷m/t=（m-n）*t/m
a=m/t
轮船顺水航行80km所需时间和逆水航行60km所需时间相同,已知水流的速度是3km/h,求轮船在静水中的速度
设轮船在静水中速度为x,
则顺水速度为：x+3
逆水速度为：x-3
则有：80/（x+3）=60/（x-3）
解方程得：x=21km/h
某点3月份购进一批T恤衫,进价合计是12万元.因畅销,商店又于4月份购进一批相同的T恤衫,进价合计是18.75万元,数量是3月份的1.5倍,但买件进价涨了5元,这两批T恤衫开始都以180元出售,到5月初,商店把剩下的100件打8折出售,很快售完,问商店供获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元?
设3月份每件进价为X元,则4月份每件进价为X+5元
所以（12*10000/X）*（3/2）*（X+5）=18.75*10000
得X=120元
且总进衣服 （12*10000/X）*5/2=2500件
总收入=2400*180+100*180*80%=446400元
所以毛利润=446400-120000-187500=138900元
/2x=2/x+3
x/x+1=2x/3x+3 +1
2/x-1=4/x^2-1
5/x^2+x - 1/x^-x=0
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验,x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验,x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验,x=1使分母为0,是增根,舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验,x=3/2是方程的解
1/2x=2/x+3
对角相乘
4x=x+3
3x=3
x=1
分式方程要检验
经检验,x=1是方程的解
x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
2x=-3
x=-3/2
分式方程要检验
经检验,x=-3/2是方程的解
2/x-1=4/x^2-1
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
分式方程要检验
经检验,x=1使分母为0,是增根,舍去
所以原方程无解
5/x^2+x - 1/x^2-x=0
两边乘x(x+1)(x-1)
5(x-1)-(x+1)=0
5x-5-x-1=0
4x=6
x=3/2
分式方程要检验
经检验,x=3/2是方程的解
5x/(3x-4)=1/(4-3x)-2
乘3x-4
5x=-1-2(3x-4)=-1-6x+8
11x=7
x=7/11
分式方程要检验
经检验
x=7/11是方程的解
1/(x+2) + 1/(x+7) = 1/(x+3) + 1/(x+6)
通分
(x+7+x+2)/(x+2)(x+7)=(x+6+x+3)/(x+3)(x+6)
(2x+9)/(x^2-9x+14)-(2x+9)/(x^2+9x+18)=0
(2x+9)[1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)]=0
因为x^2-9x+14不等于x^2+9x+18
所以1/(x^2-9x+14)-1/(x^2+9x+18)不等于0
所以2x+9=0
x=-9/2
分式方程要检验
经检验
x=-9/2是方程的解
7/(x^2+x)+1/(x^2-x)=6/(x^2-1)
两边同乘x(x+1)(x-1)
7(x-1)+(x+1)=6x
8x-6=6x
2x=6
x=3
分式方程要检验
经检验,x=3是方程的解
化简求值.[X-1-（8/X+1）]/[X+3/X+1] 其中X=3-根号2
[X-1-（8/X+1）]/[(X+3)/(X+1)]
={[(X-1)(X+1)-8]/(X+1)}/[(X+3)/(X+1)]
=(X^2-9)/(X+3)
=(X+3)(X-3)/(X+3)
=X-3
=-根号2
8/(4x^2-1)+(2x+3)/(1-2x)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)/(2x-1)=1
8/(4x^2-1)-(2x+3)(2x+1)/(2x-1)(2x+1)=1
[8-(2x+3)(2x+1)]/(4x^2-1)=1
8-(4x^2+8x+3)=(4x^2-1)
8x^2+8x-6=0
4x^2+4x-3=0
(2x+3)(2x-1)=0
x1=-3/2
x2=1/2
代入检验,x=1/2使得分母1-2x和4x^2-1=0.舍去
所以原方程解:x=-3/2
(x+1)/(x+2)+(x+6)/(x+7)=(x+2)/(x+3)+(x+5)/(x+6)
1-1/(x+2)+1-1/(x+7)=1-1/(x+3)+1-1/(x+6)
-1/(x+2)-1/(x+7)=-1/(x+3)-1/(x+6)
1/(x+2)+1/(x+7)=1/(x+3)+1/(x+6)
1/(x+2)-1/(x+3)=1/(x+6)-1/(x+7)
(x+3-(x+2))/(x+2)(x+3)=(x+7-(x+6))/(x+6)(x+7)
1/(x+2)(x+3)=1/(x+6)(x+7)
(x+2)(x+3)=(x+6)(x+7)
x^2+5x+6=x^2+13x+42
8x=-36
x=-9/2
经检验,x=-9/2是方程的根.
(2-x)/(x-3)+1/(3-x)=1
(2-x)/(x-3)-1/(x-3)=1
(2-x-1)/(x-3)=1
1-x=x-3
x=2
分式方程要检验
经检验,x=2是方程的根