(2013•海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(0,2),过点A作直线l垂直y轴,点B是直线l上异于点A

(2013•海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(0,2),过点A作直线l垂直y轴,点B是直线l上异于点A的一点,且∠OBA=α.过点B作直线l的垂线m,点C在直线m上,且在直线l的下方,∠OCB=2α.设点C的坐标为(x,y).
(1)判断△OBC的形状,并加以证明;
(2)直接写出y与x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(3)延长CO交(2)中所求函数的图象于点D.求证:CD=CO•DO.
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北-方-月 幼苗

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解题思路:(1)△OBC为等腰三角形.利用余角的定义求得∠CBO=90°-α.根据△BOC的内角和定理求得∠BOC=90°-α=∠CBO.则由“等角对等边”证得BC=OC,即△OBC为等腰三角形;
(2)如图1,根据点A、C的坐标易求B(x,2),则由(1)中的BC=OC可以列出x、y的关系式;
(3)根据题意知,点C、D是过原点的直线OCy=kx(k≠0)与抛物线y=-[1/4]x2+1的两个交点.故可设C(x1,kx1),D(x2,kx2).所以根据两点间的距离公式可以求得线段CD、CO、DO,并求得[CO•DO/CD]=1,所以易证得结论.

(1)△OBC为等腰三角形.
证明:如图1,∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°.
∵∠OBA=α,
∴∠CBO=90°-α.
∵∠OCB=2α,
∴∠BOC=90°-α=∠CBO.
∴BC=OC.
∴△OBC为等腰三角形.

(2)∵l⊥y轴,m⊥l,点A的坐标是(0,2),点C的坐标为(x,y),
∴B(x,2),
∵由(1)知,BC=OC,

x2+y2=|2-y|,整理得到y=-[1/4]x2+1.


∴y与x的函数关系式为y=-[1/4]x2+1.

(3)证明:如图2,设直线OC的解析式为y=kx(k≠0).
根据题意知,点C、D是过原点的直线OC与抛物线y=-[1/4]x2+1的两个交点.故可设C(x1,kx1),D(x2,kx2).
显然,x1、x2是关于x的方程kx=-[1/4]x2+1,即[1/4]x2+kx-1=0的两个根.
∴由韦达定理,得x1+x2=-4k,x1•x2=-4,
∴x1-x2=(x1+x22-4x1•x2=
(x1+x2)2−4x1•x2=
16k2+16=4
1+k2.
∵CD=
(x

点评:
本题考点: 二次函数综合题.

考点点评: 本题考查了二次函数综合题.其中涉及到了待定系数法求二次函数的解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识点.解答(3)题时,本题采用了代数法证得结论,当然也可以利用几何法来证得.

1年前

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