等比数列的前n项和为Sn,首项为a,公比为q,求数列{Sn}的前n项和Tn

1
当q=1时
Sn=n*a
s1=a
s2=2a
s3=3a
...
sn=na
左右两边分别相加：
左边＝Tn
右边=a*n(n+1)/2
2
当q≠1时
Sn=a(1-q^n)/(1-q) =a/1-q -(a/1-a)*q^n
S1=a/1-q-(a/1-a)*q
S2=a/1-q-(a/1-a)*q^2
...
Sn=a/1-q -(a/1-a)*q^n
左右两边分别相加：
左边＝Tn
右边＝(a/1-q)*n-(a/1-q)*(q+q^2+...+q^n)
而其中的q+q^2+...+q^n
为首项为q,公比为q的等比数列.
bn＝q+q^2+...+q^n＝q*(1-q^n)/1-q
Tn=(a/1-q)*n-(a/1-q)*q*(1-q^n)/1-q
=(a/1-q)*n-a*q*(1-q^n)/(1-q)^2
＝a*n/1-q-a*q*(1-q^n)/(1-q)^2

Sn=a（1-q^n）/（1-q）
Tn=n*a/(1-q)-q（1-q^n）/（1-q）^2
=(an-anq-q+q^(n+1))/（1-q）^2

当q=1时
Sn=na
Tn=(n(n+1)a)/2
当q!=1时
Sn=a(1-q^n)/(1-q)
Tn=a/(1-q)*n-a/(1-q)*(q+qq+……+q^n)
=a/(1-q)*(n-q(1-q^n)/(1-q))
=an/(1-q)-aq(1-q^n)

*Q