数学能手们要是有时间的话,来看看这题吧>>>>>
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以知函数f(x)=x的3分之1次方减X的负3分之1次方的差除以5,g（X）＝x的3分之1次方加X的负3分之1次方的和除以5．
（1）求f(X)为奇函数,求f(x)的单调区间．
（2）分别计算f（4）-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不为0的实数X都成立的一个等式,并加以证明．
需要详细的解答过程
以知函数f(x)=x的3分之1次方减X的负3分之1次方的差除以5,g（X）＝x的3分之1次方加X的负3分之1次方的和除以5．
（1）求f(X)为奇函数,求f(x)的单调区间．
（2）分别计算f（4）-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不为0的实数X都成立的一个等式,并加以证明．
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f(x)=[x^(1/3)-x^(-1/3)]/5,g(X)＝[x^(1/3)+x^(-1/3)]/5.
1：f(-x)=[(-x)^(1/3)-(-X)^(-1/3)]/5
=[-x^(1/3)+x^(1-/3)]/5
=-[x^(1/3)-x^(-1/3)]/5
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
∵x^(-1/3)定义域是x≠0,且在定义域上是减函数,
∴-x^(-1/3)是增函数,而x^(1/3)是R上的增函数,
∴x^(1/3)-x^(-1/3)增函数.
故f(x)有两个增区间(-∞,0)和(0,+∞).
2.f（4）-5f(2)g(2)
＝[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5-5*{[2^(1/3)-2^(-1/3)]/5}*{[2^(1/3)+2^(-1/3)]/5}
=[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5-[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5
=0,
同样,有f(9)-5f(3)g(3)＝0.
一般地,有f(x^2)-5f(x)g(x)＝0,证明如下：
f(x^2)-5f(x)g(x)
＝[(x^2)^(1/3)-(x^2)^(-1/3)]/5-5*{[x^(1/3)-x^(-1/3)]/5}*{[x^(1/3)+x^(-1/3)]/5}
=[x^(2/3)-x^(-2/3)]/5-[x^(2/3)-x^(-2/3)]/5
=0.
证毕.
1：f(-x)=[(-x)^(1/3)-(-X)^(-1/3)]/5
=[-x^(1/3)+x^(1-/3)]/5
=-[x^(1/3)-x^(-1/3)]/5
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
∵x^(-1/3)定义域是x≠0,且在定义域上是减函数,
∴-x^(-1/3)是增函数,而x^(1/3)是R上的增函数,
∴x^(1/3)-x^(-1/3)增函数.
故f(x)有两个增区间(-∞,0)和(0,+∞).
2.f（4）-5f(2)g(2)
＝[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5-5*{[2^(1/3)-2^(-1/3)]/5}*{[2^(1/3)+2^(-1/3)]/5}
=[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5-[4^(1/3)-4^(-1/3)]/5
=0,
同样,有f(9)-5f(3)g(3)＝0.
一般地,有f(x^2)-5f(x)g(x)＝0,证明如下：
f(x^2)-5f(x)g(x)
＝[(x^2)^(1/3)-(x^2)^(-1/3)]/5-5*{[x^(1/3)-x^(-1/3)]/5}*{[x^(1/3)+x^(-1/3)]/5}
=[x^(2/3)-x^(-2/3)]/5-[x^(2/3)-x^(-2/3)]/5
=0.
证毕.
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