已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R,且a≠0. (I)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的

已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R,且a≠0. (I)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两

已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a,其中a∈R,且a≠0.

(I)若函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,O为坐标原点,试求△OAB的面积S的最大值;

(II)若p和q是方程f(x)-g(x)=0的两正根,且q<

1

a

,证明:当x∈(0,P)时,f(x)<P-a.

蔡和森 1年前 已收到1个回答 举报

neverinlove 春芽

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(1)依题意,f(x)=g(x),即ax2+ax=x-a,
整理,得 ax2+(a-1)x+a=0,①
∵a≠0,函数f(x)与g(x)图象相交于不同的两点A、B,
∴△>0,即△=(a-1)2-4a2=-3a2-2a+1=(3a-1)(-a-1)>0.
∴-1<a<1/3 ,且a≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,由①得,x1•x2=1>0,x1+x2=−(a−1) /a
设点O到直线g(x)=x-a的距离为d,
则d=|−a| /根号2 ,|AB|=根号[(x1−x2)2+(y1−y2)2] =[根号(1+k2)] |x1−x2|.
∴S△OAB=1 / 2 [根号( 1+k2 )] |x1−x2|•(|−a| / 2 )
=1 / 2 [ 根号(−3a2−2a+1)]
=1 / 2 {根号[ −3(a+1/3)2+4/3
∵-1<a<1/3 且a≠0,
∴当a=−1 /3 时,S△OAB有最大值根号3 / 3 ,S△OAB无最小值.

1年前 追问

4

蔡和森 举报

太给力了,你的回答完美解决了我的问题!
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