如图,在直角△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=4,D是AC边上的一个动点(不与A、C点重合),过点D作AC边

如图,在直角△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=4,D是AC边上的一个动点(不与A、C点重合),过点D作AC边的垂线,交线段BC于点E,点F是线段EC的中点,作DH⊥DF,交射线AB于点H,交射线CB于点G.

(1)求证:GD=DC.
(2)设AD=x,HG=y.求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
yang_3208415 1年前 已收到1个回答 举报

plzeus 幼苗

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解题思路:(1)根据直角三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CGD=∠C,根据等腰三角形的判定即可求出答案;
(2)根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠A=60°,AB=2,推出AH=HD=AD,求出GD=CD=4-x,①若DH交线段AB的延长线于点H,求出y+4-x=x,②若DH交线段AB于点H,求出4-x-y=x,整理后即可得到答案.

(1)证明:∵ED⊥AC,∠C=30°,F是EC的中点,
∴DF=FC,∠C=∠FDC=30°,
∴∠GFD=60°,又GD⊥DF,
∴∠CGD=∠C=30°,
∴GD=DC.
(2)∵∠ABC=90°,∠C=30°,AC=4,
∴∠A=60°,AB=2,
又∠HDA=∠C+∠CGD=60°,
∴AH=HD=AD,
∵AD=x,AC=4,HG=y,
∴GD=CD=4-x,
①若DH交线段AB的延长线于点H(如图1)
有HG+GD=AD,
∴y+4-x=x,
∴y=2x-4(2≤x<4),
②若DH交线段AB于点H(如图2)
有GD-GH=AD,
∴4-x-y=x,
∴y=4-2x(1≤x<2),
答:y关于x的函数解析式是y=2x-4(2≤x<4)或 y=4-2x(1≤x<2).

点评:
本题考点: 含30度角的直角三角形;根据实际问题列一次函数关系式;三角形内角和定理;三角形的外角性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

考点点评: 本题主要考查对三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,直角三角形的斜边上的中线性质,含30度角的直角三角形的性质,根据实际问题列一次函数解析式,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.

1年前

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