斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围(O为坐标原点)

mben 1年前 已收到3个回答 举报

ttd530 幼苗

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直线方程为:y=2x+m,
代入椭圆方程,x^2/4+(2x+m)^2=1,
17x^2+16mx+4m^2-4=0,
要使直线和椭圆相交(切),则△≥0,
-√17≤m≤√17,
当m=±√17时,直线和椭圆相切,即只有一个交点,A和B重合,
y=2x±√17,
代入椭圆方程,17x^2±16√17x+64=0,
(√17x±8)^2=0,
x=±8/√17,
y=±16,/√17,
|OA|=|OB|=8√85/17,
|OA|*|OB|=320/17,此时乘积为最大,即直线和椭圆相切时,A和B重合,共有两个点,
当直线经过原点时,|OA|*|OB|为最小,
y=2x,
x^2/4+(2x)^2=1,
x=±2/√17,
y=±4/√17,
|OA|=|OB|=2√85/17,
|OA|*|OB|=20/17,
当A、B无限趋近切点时,|OA|≈|OB|,
∴20/17≤|OA|*|OB<320/17.

1年前

8

南方假日 幼苗

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设直线y=2x+b
求极限与椭圆线切也就是只有一个焦点
带入椭圆17/4x^2+4bx+b^2-1=0
有一个根
16b^2=4*17/4(b^2-1)=0
b=正负根17
在三角形oa小b上求得
oa^2+4oa^2=17
oa=根17/5
ob与oa对称
所|OA||OB|最大开区间为17/5
最小闭区间为...

1年前

1

go555go 花朵

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设直线是y=2x+t,代入椭圆x²+4y²=4中,化简得:17x²+16tx+4(t²-1)=0
1、判别式大于0,即:(16t)²-4×17×4×(t²-1)>0,得:02、OA*OB=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1+t)(2x2+t)
=5(x1x...

1年前

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