求级数 1/(2n+1)2^n 的和 （1

设S(x)=∑[x^(2n)]/(2n+1) |x|<1 xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1) [xS(x)]'=∑x^(2n)=x²/(1-x²) xS(x)=∫x²/(1-x²)dx=∫[1/(1-x²)-1]dx=(1/2)∫[1/(1-x)+1/(1+x)]dx-x+C=(1/2)ln|(1+x)/(1-x)|-x+C x=0时，xS(x)=0*S(0)=(1/2)ln|(1+0)/(1-0)|-0+C C=0 ∑1/(2n+1)2^n=∑[(1/√2)^2n]/(2n+1)=S(1/√2) x=1/√2时,xS(x)=[(1/2)ln|(1+1/√2)/(1-1/√2)|]-1/√2 (1/√2)S(1/√2)=ln(1+√2)-1/√2 S(1/√2)=√2ln(1+√2)-1 为什么我算出的结果多一个常数 --------------------------------------------------- 换种方法：xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)=(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7)/7+…… ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+…… -ln(1-x)=x+(x^2)/2+(x^3)/3+(x^4)/4+…… 可见xS(x)=(1/2)[ln(1+x)-ln(1-x)]-x 得到的是和上面方法一样的结果，楼主的题设恐怕有误，如果n是从0到∞而不是从1到∞，那么才能计算出楼主给的那个结果

法1中第3行[xS(x)]'=∑x^(2n)=x²/(1-x²) 应改为∑x^(2n)=1/(1-x²)，应为首项为1，而不是x²， 法2中xS(x)=∑[x^(2n+1)]/(2n+1)=x+(x^3)/3+(x^5)/5+(x^7)/7+…… 那么xS(x)=(1/2)[ln(1+x)-ln(1-x)] (1/√2)S(1/√2)=[(1/2)ln|(1+1/√2)/(1-1/√2)|]=ln(1+√2) S(1/√2)=√2ln(1+√2) ∑1/(2n+1)2^n=∑[(1/√2)^2n]/(2n+1)=S(1/√2)=√2ln(1+√2)