在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,若AC+BD=a,AC乘BD=b,求EG^2+

在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,若AC+BD=a,AC乘BD=b,求EG^2+FH^2
24lei 1年前 已收到2个回答 举报
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awy2000ca 花朵

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因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以EG,FH分别是AC,BD的中位线,由此可知
AC+BD=2(EG+FH)=a
AC*BD=2EG*2FH=4EG*FH=b
因为(EG+FH)^2=EG^2+FH^2+2EG*FH
所以EG^2+FH^2=(EG+FH)^2-2EG*FH
=(a/2)^2-b/2

1年前

2

lh2yr 春芽

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连接EH，HG，FG，EF
用余弦定理作
EG^2=EH^2+HG^2-2EH*HG*CosEHG
FH^2=EF^2+EH^2-2EF*EH*CosFEH
CosEHG=-CosFEH
AC+BD=a,AC·BD=b
AC^2+BD^2=a^2-2b
EG^2+FH^2=EH^2+HG^2+EF^2+EH^2=2(EH^2+HG^2)=(1/2)(AC^2+BD^2)
=1/2*(a^2-2b)

1年前

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