求广义积分∫（1→∞)[(lnt)^q]/[t^(p+2)]

应该是分部积分
∫(1→∞) (lnt)^q t^(-p-2) dt
= -1/(p+1) ∫(1→∞) (lnt)^q d(t^(-p-1))
= -1/(p+1) (lnt)^q t^(-p-1) |(1→∞) + 1/(p+1) ∫(1→∞) t^(-p-1) d(lnt)^q
-1/(p+1) (lnt)^q t^(-p-1)当t=1和t->∞时都等于0
则∫(1→∞) (lnt)^q t^(-p-2) dt = 1/(p+1) ∫(1→∞) t^(-p-1) d(lnt)^q
= 1/(p+1) ∫(1→∞) t^(-p-2) q(lnt)^(q-1) dt
= q/(p+1) ∫(1→∞) (lnt)^(q-1) t^(-p-2) dt
比较两式,lnt的次数降了1,而多了个倍数q/(p+1)
记原式=F(q),则∫(1→∞) (lnt)^(q-1) t^(-p-2) dt = F(q-1)
即F(q) = q/(p+1) F(q-1)
依次写出F(q-1)、F(q-2)……F(1)、F(0),并迭代
可得到F(q) = q!/(p+1)^q F(0)
而F(0) = ∫(1→∞) t^(-p-2) dt = 1/(p+1)
则原式=F(q) = q!/(p+1)^(q+1)