圆锥曲线问题椭圆方程（如图1）,设ADM是椭圆上的三点,且三点都不在椭圆顶点上,且满足（如图2）,证明直线OA OD 的
圆锥曲线问题
椭圆方程（如图1）,设ADM是椭圆上的三点,且三点都不在椭圆顶点上,且满足（如图2）,证明直线OA OD 的斜率之积为定值
椭圆方程（如图1）,设ADM是椭圆上的三点,且三点都不在椭圆顶点上,且满足（如图2）,证明直线OA OD 的斜率之积为定值
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用参数方程简单一点,设A（2cost1,sint1),D(2cost2,sint2)
利用OM=mOA+nOD,带入A D两点的坐标解得
M(2mcost1+2ncost2,msint1+nsint2)
因为M也在椭圆上,把M的坐标带入椭圆方程并整理得到：
m^2+n^2+2mncos(t1-t2)=1
因为m^2+n^2=1,
所以得到cos(t1-t2)=0.
因为斜率之积Koa*Kod=(sint1/2cost1)*(sint2/2cost2)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)
那么Koa*Kod+(1/4)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)+(1/4)=(1/4)cos(t1-t2)/cost1cost2=0
所以Koa*Kod=-1/4
是个定值
利用OM=mOA+nOD,带入A D两点的坐标解得
M(2mcost1+2ncost2,msint1+nsint2)
因为M也在椭圆上,把M的坐标带入椭圆方程并整理得到：
m^2+n^2+2mncos(t1-t2)=1
因为m^2+n^2=1,
所以得到cos(t1-t2)=0.
因为斜率之积Koa*Kod=(sint1/2cost1)*(sint2/2cost2)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)
那么Koa*Kod+(1/4)=(1/4)(sint1sint2/cost1cost2)+(1/4)=(1/4)cos(t1-t2)/cost1cost2=0
所以Koa*Kod=-1/4
是个定值
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