已知向量OA＝(k，2)，OB＝(2，5)，OC＝(k−1，9)，且AB⊥BC，则AB与AC夹角的余弦值为22或3522

解题思路：根据所给的三个向量，写出要用到的向量的坐标，根据两个向量垂直，得到数量积为0，解出坐标中的k，得到要求夹角余弦的向量，根据夹角公式代入求值，注意多解不要漏掉．

∵

OA＝(K，2)，

OB＝(2，5)，

OC＝(K−1，9)
∴

AB=

OB−

OA=（2-K，3），


BC=

OC−

OB=（K-3，4），
∵

AB⊥

BC，
∴（2-K）（K-3）+12=0
∴K=6或K=-1，
当K=6时，

AB＝(−4，3)，

AC＝(−1，7)
∴cosθ=
4+21

25
50=

2
2；
当k=-1时，

AB＝(3，3)，

AC＝(−1，7)
∴cosθ=
18

18
50=[3/5]，
综上有两向量夹角的余弦是

2
2或[3/5]，
故答案为：

2
2或[3/5]．

点评：
本题考点： 数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系．

考点点评： 通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．