有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A，B，C，D，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、
有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏，已知正四面体骰子四个面上分别印有A，B，C，D，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，若掷出后骰子为A面，棋子向前跳2站，若掷出后骰子为B，C，D中的一面，则棋子向前跳1站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn（n∈N）．
（Ⅰ）求P0，P1，P2；
（Ⅱ）求证：Pn−Pn−1＝−
(Pn−1−Pn−2)；
（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．
（Ⅰ）求P0，P1，P2；
（Ⅱ）求证：Pn−Pn−1＝−
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（Ⅲ）求玩该游戏获胜的概率．
赞 恨得沧桑 幼苗
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解题思路：（Ⅰ）理解P0，P1，P2的含义分别计算即可；
（Ⅱ）棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，转化为等比数列，再用累加法求解
（Ⅱ）棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，转化为等比数列，再用累加法求解
（1）依题意，得P0=1，P1=[3/4]，P2=[13/16]
（Ⅱ）设棋子跳到第n站（2≤n≤99）有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出后得到A面，其概率为[1/4Pn−2；第二种，棋子先到第 n-1站，又掷出后得到B，C，D 中的一面，其概率为
3
4Pn−1，由于以上两种可能是互斥的，所以Pn＝
3
4Pn−1+
1
4Pn−2，即有Pn−Pn−1＝−
1
4(Pn−1−Pn−2)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 {Pn-Pn-1}是首项为P1-P0=−
1
4]，公比为 −
1
4的等比数列．
于是有P1−P0＝−
1
4，P99−P98＝(−
1
4)99．
把以上各式相加，得．P99＝
4
5[1−(−
1
4)100]
因此，获胜的概率为
4
5[1−(−
1
4)100]
点评：
本题考点： 概率的应用；数列的应用．
考点点评： 将概率与数列联系起来，关键是合理地将问题等价转化，构造新数列，从而利用等比数列的求和公式进行求解．
1年前
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