一个数学排列组合的问题如图,现在有4种颜色对4个部分上色,假设每个部分都必须上色,并且任意相邻的两个区域不能为同一种颜色

做这类题主要是分类要全面而且不能交叉.
首先观察这个图,由于1,2,3两两相邻,而4只和3相邻,所以最少要用到3种颜色,最多用到4种颜色.
【方法一】
分两种情况
1、先看用到3种颜色的情况：
第一步,由于我们有4种颜色备选,所以我们从这四种颜色里面挑选3种,这样一共有4种排列（也就从4中选3的组合数,具体计算是4!/[(4-3)!3!]）.
第二步,我们要将挑选好的三种颜色涂在图中的4个区域.但是在这一步我们要先涂好1,2,3,它们肯定用不同的颜色.但是有个不同排列的问题,从三种颜色里面选三种的排列就是6种（就是3!种）
[当然第一步和第二步其实也可以直接合并,就是直接计算从4里面选3的排列（4!/(4-3)!）,就是24种,这和把第一步和第二步得到的数乘起来是一样的.]
第三步,现在要涂区域4.4的颜色不能跟3相同,那么就只剩两种方案——跟1或者2相同.
将三步得到的数相乘得到48.
2、再看涂4种颜色的情况：
这就直接计算从4中选4的排列就行了,即4!=24
将两种情况相加,得到总的数目为72,这就是最后的答案.
【方法二】
我们不在一开始分开3种颜色和4种颜色的情况,我们直接来涂色.
当然区域4是比较特别的,我们就先涂1,2,3.就是从4中选择3来排列,得到24（这一步和方法一的第一种情况的前两步是一样的）.接下来我们涂区域4,区域4只要不和区域3的颜色相同就行了,所以4种颜色里它可以选择3种来涂.
这样总的数目就是24*3=72,72就是最后的答案.
【补充】4,3,3,2是如何得出来的?
那么我们就不分类,也不在开始的时候把区域4区别开来.我们就按顺序分别给1,2,3,4上色.（当然也可以按照其他顺序,思路是一样的）
我们有四种颜色备选,所以最开始涂的那个区域（按照我们设定的顺序,是区域1）有4种上色方案.
接下来涂区域2,由于区域2和区域1相邻,并且相邻区域颜色不能相同,而之前我们已经在区域1用了一种颜色了,由此可知,在给区域2上色的时候,我们只有3种颜色可选.
接下来涂区域3,区域3和区域1,2都相邻,1和2都已经各自用掉一种颜色,因此区域3就只剩下两种颜色可选.
最后我们来涂区域4,（注意：区域4的特殊性这时终于显示出来了）区域4只和区域3相邻,因此,区域4可以无视区域1和2的存在,只要保证不和区域3颜色相同就行了.四种备选颜色中,一种被区域3用掉,还有3种可选.
综上,按照这种顺序来涂,每一步可选的颜色分别为4,3,2,3,全部乘起来就行了.
(所以严格来说,不能孤立地说1234这四个区域分别能填几种颜色,而是要说,按照某种顺序来涂[比如按照1234的顺序来涂],它们分别能填几种颜色.无论是哪个区域,我们若将之放在第一步来涂,那都会有四种选择)
【问题】那如果按照4,3,2,1的顺序来涂呢?
很好,按照上面的思路一步步来做就行了.你会发现,按照这个顺序来涂,每一步的可选颜色就是4,3,3,2了.自己尝试一下吧~