补天浴日q 幼苗
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(1)证明:显然f(x)的定义域是R.设x∈R,
∵f(-x)=-(-x)3+3(-x)=-(-x3+3x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)设-1<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(-x13+3x1)-(-x23+3x2)=(x1-x2)[3-(x12+x1x2+x22)]
∵x1<x2,3-(x12+x1x2+x22)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在(-1,1]上是增函数.
∴函数f(x)=-x3+3x的值域是(-2,2].
∴当a在(-2,2]内取值时,关于x的方程f(x)=a在x∈(-1,1]上有解.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合,其中熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义及性质是解答本题的关键.
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